Не в полночь, не на исходе ночи, а на рассвете крепчает мороз. В годовом круге январь самая холодная пора и рассвет. За то, что смотрит январь и в новый и в старый год, назвали его римляне именем двуликого бога Януса.
У нас на Руси именовали этот месяц тоже по характеру, но проще ― Сечень.